1. Метрика и окрестности в ℝⁿ

ε-окрестность: U(a,ε) = { x ∈ ℝⁿ : ρ(x,a) < ε }

Открытое множество: все точки внутренние.

Замкнутое: содержит все свои граничные точки.

Область: открытое линейно связное множество.

2. ФНП: определение, график, уровни

ФНП: f: A ⊂ ℝⁿ → ℝ

График: Γ(f) = {(x, y) ∈ ℝⁿ⁺¹ : x ∈ D(f), y = f(x)}

Уровень: {x ∈ ℝⁿ : f(x) = c}

3. Предел ФНП

Определение: ∀U(b,ε) ∃Ũ(a,δ): x ∈ Ũ(a,δ)∩A ⇒ f(x) ∈ U(b,ε)

Свойства: единственность, арифметика, сжатие.

Бесконечно малые и большие: |f(x)| → ∞ при x → a.

4. Непрерывность ФНП

В точке: limx→a f(x) = f(a)

На множестве: непрерывна в каждой точке.

Разрывы: точки, линии, поверхности.

5. Приращения и частные производные

Частное приращение: Δᵢf(a) = f(a₁,...,aᵢ+Δxᵢ,...,aₙ) − f(a)

Полное приращение: Δf(x) = f(x+Δx) − f(x)

Частная производная: ∂f/∂xᵢ = limΔxᵢ→0 Δᵢf / Δxᵢ

6. Производные высших порядков. Матрица Гессе

Ч. пр. 2-го порядка: ∂²f/∂xⱼ∂xᵢ

Матрица Гессе: H(f) = [ ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ ]

Теорема: если f''xᵢxⱼ и f''xⱼxᵢ непрерывны ⇒ f''xᵢxⱼ = f''xⱼxᵢ

7. Дифференцируемость ФНП

Определение: Δf(x) = ∑aᵢΔxᵢ + α(Δx)|Δx|, α → 0

Необходимое условие: ∃ все f'xᵢ(x), aᵢ = f'xᵢ(x)

Достаточное условие: все f'xᵢ непрерывны в a ⇒ дифф. в a.

Дифференциал: df(x) = ∑f'xᵢ(x) dxᵢ

8. Полный дифференциал формы

Форма: P(x,y)dx + Q(x,y)dy — полный дифф. ⇔ ∂P/∂y = ∂Q/∂x

9. Дифференцирование сложной функции

Полная производная: dz/dt = ∑ (∂z/∂uᵢ)(duᵢ/dt)

Частная производная: ∂z/∂xⱼ = ∑ (∂z/∂uᵢ)(∂uᵢ/∂xⱼ)

10. Инвариантность формы 1-го дифф.

Форма: dz = ∑ (∂z/∂uᵢ) duᵢ — инвариантна.

Дифф. высших порядков: d²f = d(df)

11. Неявная функция

Теорема: f(a,b)=0, f ∈ C¹(U), f'y(a,b)≠0 ⇒ ∃ y=φ(x) ∈ C¹, φ'(x) = – f'x/f'y

12. Производная по направлению и градиент

По направлению: ∂f/∂n = lims→+0 [f(a+sn°) − f(a)] / s

Градиент: grad f = (f'x₁, ..., f'xₙ)

Связь: ∂f/∂n = (grad f, n°)

13. Касательная плоскость и нормаль

Плоскость: F'x(a)(x−a) + F'y(a)(y−b) + F'z(a)(z−c) = 0

Нормаль: (x−a)/F'x(a) = (y−b)/F'y(a) = (z−c)/F'z(a)

14. Формулы Тейлора и Маклорена

Тейлор: f(a+Δx) = ∑k=0m dᵏf(a)/k! + R

Пеано: R = o(|Δx|ᵐ)

Лагранж: R = dᵐ⁺¹f(a+θΔx)/(m+1)!

15. Экстремум ФНП

Необходимое условие: ∃ экстремум ⇒ f'xᵢ(a)=0 ∀i

Достаточное условие: знак d²f(a):
+ ⇒ min, – ⇒ max, ± ⇒ нет экстремума

16. Условный экстремум

Функция Лагранжа: L(x,λ) = f(x) + ∑λᵢφᵢ(x)

Необходимое условие: ∇L = 0, φᵢ(x)=0

Достаточное условие: знак d²L на ker dφ

19. ВФНП: предел и непрерывность

ВФНП: f: ℝⁿ → ℝᵐ, f = (f₁,...,fₘ)

Предел: lim f(x) = b ⇔ lim fᵢ(x) = bᵢ ∀i

Непрерывность: lim f(x) = f(a)

20. Частные пр. и приращения ВФНП

Частное приращение: Δᵢf(a) = f(...aᵢ+Δxᵢ...) − f(a)

Полное приращение: Δf(x) = f(x+Δx) − f(x)

Частная производная: ∂f/∂xᵢ = lim Δᵢf/Δxᵢ

21. Дифференцируемость ВФНП. Матрица Якоби

Дифференцируемость: Δf(x) = AΔx + α(Δx)|Δx|, α→0

Матрица Якоби: J = [ ∂fᵢ/∂xⱼ ]

Дифференциал: df(x) = J(x) dx

Якобиан: det(∂(f₁,...,fₙ)/∂(x₁,...,xₙ))